12.09. 12時頃に編集: quantifer の和訳を量化子に統一．「世界をまるごと理解できるだろうか」を掲載，その他，誤字などを訂正．
前回のパズルの答え：昨年度の講義資料から（「問２の答え」という所）
前回の資料から
アリストテレス論理学は、実に長い間、西洋では思考の基本様態、あるいは、それに近いものとして考えられていた。しかし、それを、本当の推論に適用しようとすると、実は、シロギズムの説明でみたように、実にややこしい。
実は、それだけでなくて、普通の日常生活で使う文章を、たとえ、Ｓ be P を基本とする英語の場合でも、アリストテレス論理学の形式で表現しようとすると、色々と困難にぶつかる。特に、それは、人と人との関係性、ものとものとの関係性などの「関係」を表現しようとすると、大変に不自然な表現になることがわかる。
たとえば、下のジャズ Everybody loves my baby. の歌詞の赤字の部分を、Ｓ be P で記述してみよう。
歌詞：http://www.youtube.com/watch?v=V42uJKhoe2I
I'm as happy as a King,
Feelin' good n' everything
I'm just like a bird in Spring,
Got to let it out.
It's my sweetie, can't you guess?
Wild about her, I'll confess!
Does she love me?
Oh my, yes!
That's just why I shout:
Everybody loves my baby,
But my baby don't love nobody but me.
Nobody but me.
Everybody wants my baby,
But my baby don't want nobody but me
That's plain to see.
以下略
つまり、次の二つの文章を S be P にする。
(but が消えて、カンマがピリオドになっているが、こういうものは論理的内容には影響を与えないと考える。）
１．Everybody loves my baby,
２．But my baby don't love nobody but me.
の１は、尾崎の「花なきものなり」を、"non-flower plants"としたテクニックを使って、
all persons are "my baby"-lovers.
と書ける。
２は、内容的には、次の二つの文章と同じ。
2.1. my baby don't love anybody who is not me.
2.2. my baby loves me
2.2 は、１と同じテクニックを使って、
my baby is a me-lover.
2.1 は全称否定にすればよさそうなので、
my baby is non-P
だろうと推測できる。元の英文と比べて考えると
my baby is non-(（anyone who is not me)-lover).
となる。ちょっと言い方を変えて
my baby is non-((non-me)-lover).
この様に、A loves B などのような、二者の関係をアリストテレス論理学で表そうとすると非常に不自然なことになることが多い。
その直観的理由としては、アリストテレス論理学が、個を出発点として、その terminus による分類で世界を記述しようとするからである。
このことを、たとえば、20世紀初頭に、哲学が記号論理学ベースの英米系哲学と、ハイデガーなどの実存主義を中心とする大陸哲学に分かれていく、その二つの枝のルーツともいえる新カント派の哲学者、エルンスト・カッシーラーは、その著書「実体概念と関数概念」で、もともとが動物学のような分類科学をモデルにしてアリストテレス論理学が作られているからだと書いた。
これに対して、全く違う観点、動物学のような分類学ではなくて、数学をモデルにして論理学を再構成した人たちがいた。それがラッセルたち初期の記号論理学者。
ここでは、ラッセルをさらに遡り、その源流の一つとなった、アメリカの哲学者パースの論理学と、さらに、その元になった、イギリスの論理学者ブールの論理学を見ていく。
パースの論理学には、三つのポイントがあった。それは
まず、この第１のものから見よう。
A loves B
のような二つのもの関係を記述するとき、
A is a lover of B
でなくて、
A loves B
と書ければ随分楽。
他の例
A benefits B
A is a benefactor of B
パースは、このような二つのもの関係を記述するとき、
i loves j
i benefits j
を、数学の記号を使って、それぞれ
と書いた。
今ならば
L(i,j)
B(i,j)
と書く。
パースの原文を見てみる。
ここで少し脱線(しかし、学問の仕方の例としては重要な脱線）。
この例の lover, benefactor は何から来ている？
どうもしっくりこない。で、こういうときは、Google Books で検索する。
特に、こういう例は、キリスト教から来ていることが多いので、古い文献を見た方がよいが、Google Books はそれに最適。
現在では、通常の図書館では持てないような１９世紀のドイツ文献などが平気でサーチされてしまう。
＃ただし、京大文学研究科図書館クラスになると、Google Books にない図書を沢山所有しています。
＃京大は世界の主要大学のなかでは新参者。京大よりずっと古いヨーロッパなどの大学図書館や、その他の図書館・史料館には何があるやら…
lover benefactor
で書籍をサーチすると、ビンゴ！！
トマス・アクィナス「神学大全」 Summa Theologica より (vol.3,part2.sec.2)
Twelfth Ariticle の内容は
Whetｈer a Man Ought to Love More His Benefactor Than One He Has Benefited?
「人は施したるものより、施しを受けしものを、より愛すべきや？」
つまり、この辺りの、パースの例は、男女関係ではなく、トマス・アクィナスの論理的問答集「神学大全」における「施し」「恩」についての論理的・哲学的・神学的議論を意識していた可能性が高い。
(脱線終わり）
この様な述語の記号（述語記号）を導入すると、たとえば、
「全ての者は、誰かを愛しており、また、その者に施しをなす」
あるいは
「全ての者は、誰かを愛しており、また、その者に恩をなす」
が、
と書ける。
では、このΠとか∑は何か？
これが quanifier 量化子と呼ばれるもので、これがパースの、もう一つの大発明。
(フレーゲと)パースが行った述語の導入は、数学の関数
f(i,j)
や数列
aijのような記法にならったもの。
パースは、さらに数学の記法を論理学に応用した。
の
の部分は、 ｌij と ｂij の掛け算を意味している。
これは、１を真、０を偽と考えて、
1×１＝１
1×０＝０
０×１＝０
０×０＝０
となるが、これは
真かつ真 は 真
真かつ偽 は 偽
偽かつ真 は 偽
偽かつ偽 は 偽
という「かつ」の真偽の規則と一致する。
＋の方は
1＋１＝２
1＋０＝１
０＋１＝１
０＋０＝０
となるが、２は１以上なので、１とみなすと、
1＋１＝１
1＋０＝１
０＋１＝１
０＋０＝０
となり、これは
真または真 は 真
真または偽 は 真
偽または真 は 真
偽または偽 は 偽
という、数学でつかわれる「または」と一致する。
さらに、マイナスを否定とみなして、
－０＝１
－１＝０
と定義すると、ドモルガンの法則などが成り立つ。
-(A + B) =(-A)×(-B)
-(A×B) =(-A)＋(-B)
このように演算を定義した０と１の代数はブール代数と呼ばれるものの一つの例で、イギリスの数学者ジョージ・ブールが発明した。
パースは、このブールの考えをさらに発展させて量化子を論理学に導入した。
たとえば、前に考えた例
Everybody loves my baby.
を考えてみよう。これは、
All persons love my baby.
のことである。そこで、数学の変数（あるいは添え字） i が人間、つまり、persons を表すとする。すると、この文章は、
All i love my baby.
になる。さらにパースの述語記号を使い、my baby を j と書くと、これは、
All i lij
と書ける。
ところが、もし、人（persons)にすべて通し番号がついているとすると、 i や j は、0, 1, 2, 3…という数字だと思ってもよい。
もし、my baby の番号が５番だとすると、これは、
All i li５
と書ける。
ところが、これは
l０５ かつ l１５ かつ l２５ かつ l３５ かつ l４５ かつ l５５ かつ l６５ …
つまり、ブール代数の記法では、
l０５ × l１５ × l２５ × l３５ × l４５ × l５５ × l６５ …
つまり、
l０５ l１５ l２５ l３５ l４５ l５５ l６５ …
のことである。
数学では、こういう数列の積を
Πi li5
と書く。これがパースのΠの意味であり、それは、「すべての i に対して、li5 である」を意味している。
同じように、以上の説明の「かつ」、つまり、ブール代数の掛け算を、ブール代数の足し算、つまり、「または」に置き換えると、
l０５ または l１５ または l２５ または l３５ または l４５ または l５５ または l６５ …
つまり、ブール代数の記法では、
l０５ ＋ l１５ ＋ l２５ ＋ l３５ ＋ l４５ ＋ l５５ ＋ l６５ …
となるが、これは数学の記号を使うと、
∑i li5
になる。これがパースの∑の意味で、それは、「ある i に対して、li5 である」を意味している。 つまり、「誰かが my baby を愛している」「ある人が存在して、その人は my baby を愛している」となる。
以上の説明から、
を直接的に日本語に訳してみると、
すべての人 i に対して、ある人 j が存在して、i は j を愛していて、かつ、i は j に施しをする
と読める。つまり、
全ての者は、誰かを愛しており、また、その者に恩をなす
と読める。
そこで、これを使って、「my baby が愛しているのは私だけ」を表現してみよう。
まず、7 が私の番号だとする、そうすると、この文章は、
全ての者（person) i は、my baby がその者 i を愛しているならば、実は、 i は私だ！
となる。
i はXXだ
は、等号を使うと、
i =XX
と書けるし、これは数学風だから、OKとして、
全ての者（person) i は、my baby がその者 i を愛しているならば、実は、 i は私だ！
は、
全ての者（person) i は、my baby がその者 i を愛しているならば、i ＝ ７
となる。（７が「私」の番号！）
「ならば」は、まだブール代数の値で定義していないが、これは伝統的に、
A ならば B ＝ －A または B
と定義することになっている。
そうすると
真ならば真 は 真
真ならば偽 は 偽
偽ならば真 は 真
偽ならば偽 は 真
となる。
この内、３番目以外は納得できるだろうが、３番目を納得するのは難しい。
これを認めると、間違った前提から、どんな命題（主張）でも結論してよいことになる。
これは論理学が常識と大きく隔たる処で、古来、その意味が繰り返し議論されているが、
今でも解決できていない問題である。
以上の「規約」のもとで、but my baby loves only me 7、つまり、
全ての者（person) i は、my baby がその者 i を愛しているならば、実は、 i は私だ！
は、
Πi （－l5i＋ (i = 7))
となる。つまり、数回前に行ったパズルの答えをパースの論理学でかけば、
Πi li5 Πi （－l5i＋ (i = 7))
となる。これを英語風にかけば、
(For any person i. i loves my baby ) and
(For any person i. "my baby loves i" implies "i is me")
となる。
また、any person でなくて、anything にしたければ、次のようにする：
(For anything i." i is a person" implies "i loves my baby") and
(For anything i. "i is a person and my baby loves i " implies "i is me")
ここから今回の資料
西田の「論理学」（論理主義）は「述語的」と銘打たれていたが，パースの論理学や，それに関連した論理学から
進歩した現代の論理学の代表は，述語論理学．より正確には第一階述語論理学という．
これを簡単に説明してアリストテレス論理学との相違を説明する．同じ用語が大変違うものを表しているので混乱しないように注意！
述語論理学の構成要素は，次の６つ．ただし，６や５は，どちらか一方だけで済ます場合もある．
アリストテレス論理学の固有名辞に対応するもの．ただし，terminus は考えず，その中にある丁度一つの
個体を表していると考える．
形式的には，次のように定義する．
１．１．個体変数 x, y, z, x1, y1, .... は項である．パースの i, j, k に対応．
１．２．個体定数 c1, c 2,.... は項である．パースの 7 などに対応．
アリストテレス論理学の名辞で， A be B のBに対応するもの．ただし，A１, A2,..., An be B のように
タプル（対）A１, A2,..., An を主部にし，また，A1, A2,... も個体名辞に限られている．
形式的には，次のように定義する．
２．１．述語記号 P1,P2,.... が与えられているとする．
２．２．各述語記号 Pi には，ある非負整数 n が定められている，それを「引数（ひきすう）の数」という．
∀，∃，∧，∨，￢，→の五つが標準．ただし，∀と∧と￢があれば，他の論理記号は定義できるなど，
色々と冗長性がある．
パースの論理の説明で用いた，Π，∑，AB，A+B，－A，－A＋B が∀，∃，∧，∨，￢，→に対応する．
いわゆる命題に当たるもの．形式的には，次の様に定義する．
４．１．Ｐが述語記号で，その引数の数が n であり，t1,....,tn がn 個の項ならば，P(t1,....,tn) は論理式である．
４．２．F, G が論理式ならば，F∧G，F∨G，F→G の三つはいずれも論理式である．
４．３．Ｆが論理式ならば，￢F は論理式である．
４．４．Ｆが論理式で x が個体変数ならば，∀x.F，∃x.Fの二つはいずれも論理式である．
注. 細かいことをいうと，F∧Gなどの外側に (F∧G)のように括弧をつけていく必要がある．記号論理学の講義ではないし面倒なので無視！
∀，∃，∧，∨，￢，→ は，パースの論理学の説明からすると，それぞれ，すべての…対して，存在する，かつ，または，ない（否定），ならば，に対応する．
これとパースの表記方法をもとに，記号論理学，述語論理で，どうやって命題を表すか簡単に説明する．
アリストテレス論理学で，ソクラテスという対象，個体を表す項を考えて，それを So，人間の全体を表す項を考えて，それをＨu とすると，
「ソクラテスは人間である」が，
So be Hu
と書けた．数理論理学では，これを，So という terminus，つまり，柵つきの個
ではなくて，柵なしの個
だと考えて，それを表す個体変数 so を考え，さらに，引数の数が１の述語記号 Hum を考えて，(Hum にしたのは項 Hu と区別するため，それ以外の意味はない），
「ソクラテスは人間である」を，
Hum(so)
と書く．つまり，Hum(x) は，x is a human を意味する．
また，「人は皆死ぬものなり」は，「死すもの」の項 Mo を考えれば，
Hu be Mo
だが，これは記号論理学では，パースの方法に従うと，
∀x.(Hum(x) →Mor(x))
と書ける．ただし，Mor は，Mo に対応する述語記号，つまり，Mor(x) は x is mortal を表す．
for all x, if x is a human, then x is mortal.
すべてのもの x に対して，「もし，ｘ が人間ならば， x は死ぬものである」が成り立つ
ということである．
詳しいことは省くが，三段論法のように，前提から結論を導く方法を，形式的・機械的なルールで記述できるようになっている．
たとえば，「ソクラテスは人である」 の表現 Hum(so) と，「すべての人間は死ぬ」の表現 ∀x.(Hum(x) → Mor(x)) から，「ソクラテスは死ぬ」の表現 Mor(so) を導くには，次のようにする．
これで，Mor(so) 「ソクラテスは死ぬ」という結論が導かれたことになる．この演繹（証明）で使われた「推論の法則」は，
の二つ．どちらも，論理記号に対応させられている自然言語の意味∀：「すべての…である」と，→：「ならば」からすると自然にわかる．
こういう規則が，各論理記号に対して決まっていて，上の三段論法の「証明」のようなものをコンピュータで自動的に作りだしたり，人間が書いたものが正しい証明になっているかどうかをソフトにチェックさせたりができるほどに機械的な規則が決まっている．
この講義では，これ以上はやりません．詳しくは，慶応大学哲学科の岡田先生の資料を見てください．
６．意味論
省略．興味がある人は，これもこちらを参考に．
アリストテレス論理学では表現できず，述語論理学ならば表現できるものがある，という風に説明されることがあるが，実はこれは間違い．みなさんが図書館の本を探すときに使うデータベースＯＰＡCは Relational Database というものでできているが，それの基礎理論である Datalog というものを使うと，アリストテレス論理学が述語論理学と同じ記述能力をもつことが簡単に示せる．これは次回説明．これに最初に気がついたのは，パース，ラッセル，カッシーラなどの哲学者であるらしい．
注1でリマークしたのは，表現力のこと．基礎理論の構築には，やはり項だけでは無理で，述語論理の意味での述語が必要ということはラッセルが指摘している．
実はアリストテレス論理学にはあり，記号論理学では消えたものがある．それが形而上学．そして，その部分はＩＴが必要としているものだった．
なぜ，このように失われたのか，失われても記号論理学はアリストテレス論理学を「駆逐」できたのか？
この疑問への解答を，最初に見たラッセルのインタビューを元に考える．以下，次回…